The equations of motion for compressible (barotropic) fluids have the structure of a simple conservative dynamical system when expressed in Lagrangian variables. This can be exposed interpreting the Lagrangian flow as a curve of vector-valued L2 functions, and the internal energy of the fluid as a functional on the same space. Particle methods are a natural discretization strategy in this setting, since in this case the flow is discretized using piecewise constant functions on a given partition of the domain, but they require some form of regularization to define the internal energy of the fluid. In this talk I will describe a particle method in which the internal energy is replaced by its Moreau-Yosida regularization in the L2 space, which can be efficiently computed as a semi-discrete optimal transport problem. I will also show how the convexity of the energy in the Eulerian variables can be exploited in the non-convex Lagrangian setting to prove quantitative convergence estimates towards smooth solution of this problem, and how this result generalizes to dissipative porous media flow.
Le but de l'optique anidolique, aussi appelée optique non imageante, est de construire des composants optiques qui transportent l'énergie lumineuse d'une source de lumière vers une cible de lumière donnée. La modélisation de ce type de problèmes inverses conduit dans certains cas à des équations de type Monge-Ampère. Dans cet exposé, je montrerai comment de telles équations peuvent être résolues numériquement à l'aide d'une discrétisation géométrique particulière appelée semi-discrète. Je présenterai aussi des applications en optique anidolique avec la construction de miroirs et de lentilles.
Dans cet exposé nous allons nous intéresser aux structures réelles de certaines variétés algébriques complexes munies d'une action d'un groupe algébrique réductif : les variétés presque homogènes. Nous verrons comment déterminer si de telles structures existent et, le cas échéant, comment les décrire et les dénombrer. En particulier, nous tâcherons d'illustrer notre approche sur deux familles classiques de variétés presque homogènes : les variétés horosphériques (qui incluent les variétés toriques et les variétés de drapeaux) et les SL(2)-variétés presque homogènes de dimension 3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lucy Moser-Jauslin (IMB, Dijon).
Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants : (1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X->R définie sur un fermé Xsubset R^n admet un prolongement de classe C^m sur R^n (2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur R^n Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité. Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si g:X->R semi-algébrique admet un prolongement de classe C^(r(m)) alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe C^m. Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe C^(r(m)), alors il existe une solution semi-algébrique de classe C^m.
Une application polynomiale dominante du plan complexe dans lui-même donne lieu à un ensemble fini de courbes et de points isolés en dehors de son image. Z. Jelonek a fourni une borne supérieure sur le nombre de ces points isolés qui ne dépend que des degrés des polynômes de l'application, et qui est quadratique en ces degrés. J'introduirai dans cet exposé une grande famille d'applications dominantes non propres pour lesquelles cette borne supérieure dépend linéairement de degrés. J'illustrerai également une construction montrant que cette borne supérieure est asymptotiquement exacte.
Les champignons endomycorhiziens forment des communautés mutualistes qui aident les plantes à accroître leur système racinaire et donc leur biomasse. Depuis plusieurs décennies, ces champignons sont utilisés comme engrais vert. Cependant quel est l'impact de ces champignons commerciaux sur les communautés sauvages? Afin de comprendre ces interactions j'ai développé en collaboration avec M. Martignoni, R. Tyson et M. Hart (Univ British Columbia) un nouveau modèle mutualiste basé sur des équations aux dérivées partielles. Dans cette exposé, je vous présenterai des critères analytiques d'existence et de stabilité des solutions stationnaires pour lesquels la coexistence apparaît. Ensuite je m'intéresserai à l'invasion spatiale d'une communauté par une autre en montrant l'existence de solutions de type front progressif pour le système et en caractérisant leur vitesse de propagation.
On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe des plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)
Many of the most important results in mathematics are based on some inequality, of geometric or analytic nature. On the other hand, this separation between geometry and analysis is not sharp and the most intriguing inequalities are indeed the ones that have a mixed nature and enhance the interplay of the two realms. Moreover, many apparently purely geometric inequalities have some powerful functional counterpart, like for instance the Isoperimetric Inequality and Sobolev Inequality. I will try to give some general overview on geometric-analytic inequalities and will concentrate on one of them, precisely the Brunn-Minkowski inequality, an apparently geometric inequality which is at the core of modern convex geometry, and on its functional counterpart, the Borell-Brascamp-Lieb inequality. And also possibly show some applications to PDEs.
Let $R$ be a real closed field. We prove that if $R$ is uncountable, then any separately Nash (resp. arc-Nash) function defined over $R$ is semialgebraic (resp. continuous semialgebraic). To complete the picture, we provide an example showing that the assumption on $R$ to be uncountable cannot be dropped. Moreover, even if $R$ is uncountable but non-Archimedean then the shape of the domain of a separately Nash function matters for the conclusion. For $R = R$ we prove that arc-Nash functions coincide with arc-analytic semialgebraic functions. Joint work with W. Kucharz and A. El-Siblani.
The speculative ambition of replacing the old theory of program approximation based on syntactic continuity with the theory of resource consumption based on Taylor expansion and originating from the differential λ-calculus is nowadays at hand. Using this resource sensitive theory, we provide simple proofs of important results in λ-calculus that are usually demonstrated by exploiting Scott’s continuity, Berry’s stability or Kahn and Plotkin’s sequentiality theory. A paradigmatic example is given by the Perpendicular Lines Lemma for the Böhm tree semantics, which is proved here simply by induction, but relying on the main properties of resource approximants: strong normalization, confluence and linearity.
In 1979 O. Zariski proposed a general theory of equisingularity for algebraic or algebroid hypersurfaces over an algebraically closed field of characteristic zero. It is based on the notion of dimensionality type that is defined recursively by considering the discriminants loci of subsequent ``generic'' projections. The singularities of dimensionality type 1 are isomorphic to the equisingular families of plane curve singularities. In this talk we consider the case of dimensionality type 2, the Zariski equisingular families of surface singularities in 3-space. Using an approach going back to Briançon and Henry, we show that in this case generic linear projections are generic in the sense of Zariski (this is still open for dimensionality type greater than 2). Over the field of complex numbers, we show that such families are bi-Lipschitz trivial, by construction of an explicit Lipschitz stratification. (Based on joint work with L. Paunescu.)
TBA
In this talk we consider the Cauchy problem for the 2D Euler equations for incompressible inviscid fluids. It is well-known that given a smooth initial datum, the Cauchy problem is well-posed and in particular the energy is conserved and the vorticity is transported by the flow of the velocity. When we consider weak solutions this might not be the case anymore. We will review some recent results obtained in collaboration with Gianluca Crippa and Gennaro Ciampa where we extend those properties to the case of irregular vorticities. In particular, under low integrability assumptions on the vorticity we show that certain approximations important from a physical and a numerical point of view converge to solutions satisfying those properties.